Catalago 4to de Informática : MATEMÀTICA

Matemática

Competencia: Determinar los elementos y expresiones para sucesiones numéricas

Contenidos :

*Sucesiones numéricas.

*Tipos de sucesiones.

*Ejemplos.

Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico, así por ejemplo:

\begin{matrix} a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ & n & \to & a_n \end{matrix}

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.

Si la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :

\begin{matrix} a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & a_n \end{matrix}

En cualquier caso se denota simplemente como

\left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}

o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como

\left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de

a_{}^{}

fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo

\scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0

, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes.

Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de

a_0, \; a_1,\; ... \; ,\; a_n

, podemos definir el término general de forma inductiva como

a_{i+1} = f(a_{i-n}, \; ... \; , a_i) , \; i \ge n

como por ejemplo con la ecuación en recurrencias

a_{i+1} = b_0 a_{i-n} + \; ... \; + b_n a_i + c_n , \; i \ge n, \; b_0, \; ... \; , \; b_n, \; c_n \in \mathbb{R}

Tipos de sucesiones

Sucesión finita:

Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el ese Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el :

Genéricamente: a0, ; a1, ; a2, ai ,an , donde aI sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, 1, 0:

Genéricamente: a0, a_1, a2, ai, an , donde ai sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, 1, 0 .

Sucesión constante

Se dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor,

k_{}^{}

, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente

a_0^{} = k, \; a_1 = k, \; a_2 = k, \; a_3 = k, \; ... \; , \; a_n = k,\;...

ejemplo: si

k_{}^{}=1

queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesiones monótonas

Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente:¹

Sucesión creciente

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que

a_n^{} < a_{n+1}

, es decir, que el siguiente término,

a_{n+1}^{}

, siempre sea mayor estricto que su predecesor,

a_n^{}

, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...

Para reales:

-2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;...

Si se impone

a_n^{} \leq a_{n+1}

, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

si $a_n^{} > a_{n+1}$ es estrictamente decreciente.
si $a_n^{} \geq a_{n+1}$ entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como

a_n=(-1)^{n}

que nos genera la sucesión: a₀=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesiones Acotadas

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:

Una sucesión {a_n} estará acotada superiormente en el caso que exista un numero real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {a_n} M.
Por otro lado, la sucesión estará acotada interiormente cuando un numero real N la limite de la forma contraria a la anterior: {a_n} ≥ N.
Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {a_n} será una sucesión acotada.